Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 6

 

Prop.6: Nel cerchio dato inscrivere un quadrato
Dimostrazione
 

Sia dato il cerchio ABCD: nel cerchio ABCD si deve pertanto inscrivere un quadrato.

Si conducano due diametri AC e BD del cerchio ABCD (Prop.3-1) ad angoli retti tra loro (Prop.1-11), e si congiungano AB, BC, CD e DA.

Poiché BE è uguale a ED, E è infatti il centro, e EA è in comune e ad angoli retti, allora la base AB è uguale alla base AD (Prop.1-4). Per gli stessi motivi ognuna delle rette BC e CD è rispettivamente uguale alle rette AB e AD. Pertanto il quadrilatero ABCD è equilatero.

Dico ora che è anche rettangolo.

Poiché infatti la retta BD è un diametro del cerchio ABCD, allora BAD è un semicerchio; l'angolo BAD è quindi retto (Prop.3-31). Per gli stessi motivi anche ciascuno degli angoli ABC, BCD e CDA è pure retto. Pertanto il quadrilatero ABCD è rettangolo. Ma è stato dimostrato anche equilatero, pertanto è un quadrato ed è stato inscritto nel cerchio ABCD.

  Nel cerchio dato risulta quindi inscritto un quadrato ABCD.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ABCD di centro E
  2. strumento Retta: disegna la retta AE che interseca la circonferenza in C
  3. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare da E ad AC che interseca la circonferenza in B e D
  4. strumento Poligono: disegna il quadrato ABCD

 

La costruzione introdotto in questa proposizione viene utilizzata nel Libro XII.