Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 5

 

Prop.5: Intorno al triangolo circoscrivere un cerchio
Dimostrazione
 

Sia dato il triangolo ABC: intorno al triangolo dato si deve pertanto circoscrivere un cerchio ABC.

Si sechino a metà le rette AB e AC nei punti D e E (Prop.1-10). Si conducano DE e EF dai punti D ed E ad angoli retti ad AB e AC (Prop.1-11). Si incontrereranno pertanto all'interno del triangolo ABC, o sulla retta BC, o all'esterno del triangolo.

In primo luogo si incontrino all'interno in F.

Si congiungano FB, FC e FA.

Poiché AD è uguale a DB e DF è in comune e ad angoli retti, allora la base AF è uguale alla base FB (Prop.1-4). Analogamente si può dimostrare che anche CF è uguale a AF, così come FB è uguale a FC; le tre rette FA, FB e FC sono quindi uguali tra loro.

Il cerchio tracciato di centro F e raggio una delle rette FA, FB o FC passerà quindi per i restanti punti, e il cerchio risulterà circonscritto al triangolo ABC. Risulti circoscritto come ABC.

.

 

 

Ora DF e EF si incontrino sulla retta BC in F, come nel caso della seconda figura. Si congiunga AF.

Del tutto similmente, si può dimostrare che il punto F è il centro del cerchio circoscritto intorno al triangolo ABC.

 

 

DE e EF si incontrino ora all'esterno del triangolo ABC, come nel caso delle terza figura. Si congiungano AF, BF e CF.

E poiché di nuovo, AD è uguale a DB e DF è in comune e ad angoli retti, allora la base AF è uguale alla base BF (Prop.1-4).

Analogamente si può dimostrare che anche CF è uguale a AF, così come BF è uguale a FC. Il cerchio tracciato di centro F e raggio una delle rette FA, FB o FC passa anche per i punti restanti, ed è circoscritto intorno al triangolo ABC.

 

 

  Un cerchio è stato quindi circoscritto intorno al triangolo dato.
Corollario:
  Ed è manifesto che quando il centro del cerchio cade dentro il triangolo, l'angolo BAC, che si trova in un segmento maggiore del semicerchio, è minore di un angolo retto; quando cade sulla retta BC, l'angolo BAC, essendo in un semicerchio, è retto, e quando il centro del cerchio cade fuori dal triangolo, essendo in un segmento minore del semicerchio, è maggiore di un angolo retto.

 

 

La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Poligono: disegna il triangolo ABC
  2. strumento Punto Medio: traccia il punto medio D di AB e E di CD
  3. strumento Perpendicolare: disegna le perpendicolari da D e E rispettivamente ai lati AB e CD
  4. strumento Segmento: disegna i segmenti FA, FB, FC
  5. strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro F

 

Il centro del cerchio circoscritto è detto circocentro. Dalla costruzione qui presentata risulta evidente che tale punto è l'intersezione degli assi dei lati del triangolo. È un altro dei punti notevoli di un triangolo.