Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 3

 

Prop.3: Intorno al cerchio dato circoscrivere un triangolo equiangolo al triangolo dato
Dimostrazione
 

Sia dato il cerchio ABC e il triangolo DEF: si deve pertanto circoscrivere intorno al cerchio ABC un triangolo equiangolo al triangolo DEF.

Si prolunghi EF da una e dall'altra parte secondo i punti G e H. Si prenda il centro K del cerchio ABC (Prop.3-1), e si tracci un raggio KB a piacere. Sulla retta KB e su un punto K su di essa, si costruisca l'angolo BKA uguale all'angolo DEG, e l'angolo BKC uguale all'angolo DFH (Prop.1-23). Per i punti A, B e C si conducano le rette LAM, MBN e NCL tangenti al cerchio ABC (Prop.3-16Cor).

Poiché LM, MN e NL sono tangenti al cerchio ABC nei punti A, B e C e KA, KB e KC sono stati congiunti con il centro K, allora gli angoli nei punti A, B e C sono retti (Prop.3-18). E poiché i quattro angoli del quadrilatero AMBK sono uguali a quattro angoli retti, AMBK si può dividere infatti in due triangoli, e gli angoli KAM e KBM sono retti; la somma degli angoli restanti AKB e AMB è quindi uguale a due angoli retti.

Ma la somma degli angoli DEG e DEF è pure uguale a due angoli retti (Prop.1-13); pertanto la somma degli angoli AKB e AMB è uguale alla somma degli angoli DEG e DEF, dei quali l'angolo AKB è uguale all'angolo DEG, l'angolo restante AMB è quindi uguale all'angolo restante DEF.

Del tutto similmente si può dimostrare che anche l'angolo LNB è uguale all'angolo DFE, quindi l'angolo restante MLN è uguale all'angolo EDF (Prop.1-32). Pertanto il triangolo LMN è equiangolo al triangolo DEF, ed è stato circoscritto al cerchio ABC.

  Intorno al cerchio dato risulta quindi circoscritto un triangolo equiangolo al triangolo dato.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna il cerchio ABC di centro K
  2. strumento Poligono: disegna il triangolo DEF
  3. strumento Segmento: disegna il raggio KB
  4. strumento Angolo di data ampiezza: disegna l'angolo BKA uguale a DEG, che interseca la circonferenza in A e l'angolo BKC uguale a DFH, che interseca in C
  5. strumento Tangenti: disegna le tangenti alla circonferenza in A, B e C
  6. strumento Poligono: disegna il triangolo LMN, con vertici nelle intersezioni delle tre tangenti

 

La proposizione non è più utilizzata negli Elementi.