Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 2

 

Prop.2: Nel cerchio dato inscrivere un triangolo equiangolo al triangolo dato
Dimostrazione
 

Sia dato il cerchio ABC e il triangolo DEF: si deve pertanto inscrivere nel cerchio ABC un triangolo equiangolo al triangolo DEF.

Si conduca GH tangente al cerchio ABC in A (Prop.3-16Cor). Si costruisca l'angolo HAC uguale all'angolo DEF sulla retta AH e sul punto A di essa, e si costruisca l'angolo GAB uguale all'angolo DFE sulla retta AG e sul punto A su di essa (Prop.1-23). Si congiunga BC.

Poiché dunque una retta AH è tangente al cerchio ABC, e dal punto di tangenza in A è stata condotta oltre nel cerchio la retta AC, allora l'angolo HAC è uguale all'angolo ABC nel segmento alterno del cerchio (Prop.3-32). Ma l'angolo HAC è uguale all'angolo DEF, anche l'angolo ABC è quindi uguale all'angolo DEF.

Per gli stessi motivi anche l'angolo ACB è uguale all'angolo DFE; l'angolo restante BAC è quindi uguale all'angolo restante EDF (Prop.1-32).

  Nel cerchio dato ABC risulta quindi inscritto un triangolo equiangolo al triangolo dato.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna il cerchio ABC
  2. strumento Tangente: disegna la tangente alla circonferenza in A
  3. strumento Poligono: disegna il triangolo DEF
  4. strumento Angolo di data ampiezza: disegna l'angolo HAC uguale a DEF, che interseca la circonferenza in B e l'angolo HAB uguale a DFE, che interseca in C
  5. strumento Segmento: disegna le corde AC, AB, BC

 

L'ipotesi che la retta da adattare nel cerchio non sia maggiore di un diametro del cerchio è certamente necessaria, ma Euclide non ne mostra la sufficienza. Non si dimostra che i due cerchi si intersecano in un punto.

La proposizione è utilizzata nelle proposizioni Prop.4-11 e Prop.4-16.