Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 15

 

Prop.15: Nel cerchio dato inscrivere un esagono sia equilatero che equiangolo
Dimostrazione
 

Sia dato il cerchio ABCDEF: nel cerchio ABCDEF si deve pertanto inscrivere un esagono sia equlatero che equiangolo.

Si conduca il diametro AD del cerchio ABCDEF. Si prenda il centro G del cerchio (Prop.3-1). Si tracci il cerchio EGCH di centro D e raggio DG. Si congiungano EG e CG e si conducano oltre fino ai punti B e F. Si congiungano AB, BC, CD, DE, EF, e FA.

Dico che l'esagono ABCDEF è equilatero e equiangolo.

Poiché infatti il punto G è il centro del cerchio ABCDEF, GE è uguale a GD. Di nuovo, poiché il punto D è il centro del cerchio GCH, DE è uguale a DG. Ma GE è stato dimostrato uguale a GD; anche GE è quindi uguale a ED. Pertanto il triangolo EGD è equilatero, e quindi i suoi tre angoli EGD, GDE, DEG sono uguali tra loro, poiché appunto in un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono uguali tra loro (Prop.1-5).

E la somma dei tre angoli del triangolo è uguale a due retti; l'angolo EGD è quindi un terzo dei due angoli. Analogamente, l'angolo DGC si può dimostrare essere uguale a un terzo di due retti.

E poiché la retta CG, che sta su EB, forma due angoli adiacenti EGC e CGB la cui somma è uguale a due retti (Prop.1-13), allora l'angolo rimanente CGB è pure uguale a un terzo di due retti. Pertanto gli angoli EGD, DGC, e CGB sono uguali tra loro, così anche gli angoli al vertice con essi, BGA, AGF, FGE, sono uguali (Prop.1-15). I sei angoli EGD, DGC, CGB, BGA, AGF, FGE sono quindi uguali tra loro.

Ma angoli uguali insistono su archi uguali; i sei archi AB, BC, CD, DE, EF, FA sono quindi uguali tra loro (Prop.3-26). E sotto archi uguali si tenedono rette uguali; le sei rette sono quindi uguali tra loro (Prop.3-29). L'esagono ABCDEF è quindi equilatero.

Dico ora che è anche equiangolo.

E poiché l'arco FA è uguale all'arco ED, si sommi ad entrambi l'arco ABCD; FABCD totale è quindi uguale a EDCBA totale. E l'angolo FED insiste sull'arco FABCD, e l'angolo AFE sull'arco EDCBA; l'angolo AFE è quindi uguale all'angolo DEF (Prop.3-27). Analogamente si dimostra che gli angoli rimanenti dell'esagono ABCDEF sono pure uno per uno uguali a uno e all'altro degli angoli AFE e FED; l'esagono ABCDEF è quindi equiangolo. Ma è stato dimostrato anche equilatero, ed è stato inscritto nel cerchio ABCDEF.

  Nel cerchio dato risulta quindi inscritto un esagono sia equilatero che equiangolo.
   
Corollario
  Da questo è manifesto che il lato dell'esagono è uguale al raggio del cerchio. E similmente per il pentagono, qualora per i punti delle divisione del cerchio si traccino le tangenti al cerchio, sarà circoscritto attorno al cerchio un esagono equilatero e equiangolo in modo conseguente alle dimostrazioni introdotte per il pentagono. E ancora, con modalità simili a quelle dette per il pentagono, nell'esagono dato si può inscrivere e circoscrivere un dato esagono.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Punto: traccia tre punti non allineati
  2. strumento Circonferenza per tre punti: disegna la circonferenza
  3. strumento Segmento: congiungi due punti
  4. strumento Asse: disegna l'asse del segmento, che interseca la circonferenza in A e D
  5. strumento Punto Medio: traccia il punto medio di AD, G, che è il centro della circonferenza ABCDEF
  6. strumento Circonferenza: disegna la circonferenza di centro G e raggio AG, che interseca la prima circonferenza in C e E
  7. strumento Semiretta: disegna le semirette EG e CG che intersecano la circonferenza rispettivamente in B e F
  8. strumento Poligono regolare: disegna l'esagono ABCDEF

 

La costruzione è utilizzata nel Libro XIII.