Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO IV

 

PROPOSIZIONE 14

 

Prop.14: Intorno al pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, circoscrivere un cerchio
Dimostrazione
 

Il pentagono dato ABCDE sia equilatero e equiangolo: intorno al pentagono ABCDE si deve pertanto circoscrivere un cerchio.

Si sechino a metà gli angoli BCD e CDE rispettivamente con le rette CF e DF (Prop.1-9). Si congiungano le rette FB, FA, e FE dal punto F fino ai punti B, A, E nei quali le rette si incontrano. Del tutto similmente alla precedente proposizione si dimostrerà che anche gli angoli CBA, BAE, AED sono secati a metà rispettivamente dalle rette FB, FA, FE.

E poiché l'angolo BCD è uguale all'angolo CDE, e l'angolo FCD è metà dell'angolo BCD, e l'angolo CDF metà dell'angolo CDE, allora l'angolo FCD è pure uguale all'angolo CDF, così che anche il lato FC è uguale al lato FD (Prop.1-6). Analogamente può essere dimostrato che anche ciascuna delle rette FB, FA, FE sono uguali a ciascuna delle rette FC e FD. Le cinque rette FA, FB, FC, FD, FE sono quindi uguali tra loro.

Il cerchio tracciato di centro F e raggio una delle rette FA, FB, FC, FD, o FE passa anche per i restanti punti, e risulta circonscritto. Risulti circoscritto e sia ABCDE.

  Intorno al pentagono dato, che è sia equilatero che equiangolo, risulta quindi circoscritto un cerchio.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Poligono regolare: disegna il pentagono ABCDE
  2. strumento Bisettrice: disegna la bisettrice degli angoli BCD e CDE, che si intersecano in F
  3. strumento Segmento: congiungi F con tutti i vertici del pentagono
  4. strumento Compasso: disegna la circonferenza di centro F e raggio FG

 

La costruzione è utilizzata nel Libro XIII.