Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO III

 

PROPOSIZIONE 27

 

Prop.27: Nei cerchi uguali gli angoli che insistono su archi uguali sono uguali tra loro, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze
Dimostrazione
 

Sui cerchi uguali ABC, DEF, su archi uguali BC, EF, insistano infatti angoli uguali BGC, EHF sui centri G, C e BAC, EDF sulle circonferenze: dico che l'angolo BGC è uguale all'angolo EHF e BAC è uguale a EDF.

Se infatti l'angolo BGC è disuguale all'angolo EHF, uno di essi è maggiore. Sia maggiore BGC.
Si costruisca l'angolo BGK uguale all'angolo EHF sulla retta BG e nel punto G su di essa (Prop.1-23). Gli angoli uguali insistono su archi uguali quando sono sui centri (Prop.1-26), pertanto l'arco BK è uguale all'arco EF.

Ma EF è uguale a BC, anche BK è quindi uguale a BC, il minore uguale al maggiore, il che è impossibile. Pertanto l'angolo BGC non è disuguale all'angolo EHF; è quindi uguale. E l'angolo si A è metà dell'angolo BGC (Prop.3-20), e l'angolo su D è metà dell'angolo EHF, l'angolo su A è quindi uguale all'angolo su D.

  Nei cerchi uguali gli angoli che insistono su archi uguali sono quindi uguali tra loro, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze.

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La costruzione con Geogebra è quasi del tutto simile a quella proposizione precedente

 

Questa proposizione è utilizzata in alcune proposizione dei Libri III, IV, VI, e XII a partire dalla Prop.3-29.