Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO III

 

PROPOSIZIONE 26

 

Prop.26: Nei cerchi uguali gli angoli uguali insistono su archi uguali, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze
Dimostrazione
 

Siano dati i cerchi uguali ABC, DEF, e in essi gli angoli uguali, sui centri GBC, EHF, sulle circonferenze BAC, EDF: dico che l'arco BKC è uguale all'arco ALF.

Si congiungano infatti BC e EF.

Poiché i cerchi ABC e DEF sono uguali, i raggi sono uguali. Pertanto le due rette BG e GC sono uguali alle due rette EH e HF, e l'angolo in G uguale all'angolo in H; la base BC è quindi uguale alla base EF (Prop.1-4).

E poiché l'angolo in A è uguale all'angolo in D, il segmento è simile al segmento EDF (Def.3-11), e sono su rette uguali. Ma segmenti di cerchio simili su uguali rette sono uguali tra loro, il segmento BAC è quindi uguale a EDF. Ma il cerchio ABC totale è pure uguale al cerchio DEF totale, pertanto l'arco rimanente BKC è uguale all'arco ELF.

  Nei cerchi uguali gli angoli uguali insistono quindi su archi uguali, sia qualora insistano sui centri sia qualora sulle circonferenze.

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La costruzione con GeoGebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro di centro G
  2. strumento Segmento: disegna le corde AB, BC e i raggi AG e GC
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: disegna la circonferenza DEF di centro H e raggio uguale a BG
  4. strumento Angolo di data ampiezza: disegna l'angolo EHF uguale all'angolo BGC
  5. strumento Punto: tracccia il punto D sulla seconda circonferenza
  6. strumento Segmento: disegna le corde DF, EF e i raggi EH, FH

 

Questa proposizione è utilizzata nella Prop.3-28 e nei Libri IV e XIII.