LIBRO III
PROPOSIZIONE 20
| Prop.20: | In un cerchio un angolo sul centro è doppio di uno sulla circonferenza, quando gli angoli abbiano come base lo stesso arco |
| Dimostrazione | |
Sia dato il cerchio ABC e siano dati un angolo al suo centro BEC e sulla circonferenza BAC e abbiano come base lo stesso arco BC: dico che l'angolo BEC è doppio di BAC. Si congiunga AE e la si conduca oltre fino a F. Poiché EA è uguale a EB, anche l'angolo EAB è uguale all'angolo EBA (Prop.1-5). Pertanto la somma degli angoli EAB e EBA è doppia dell'angolo EAB. Ma l'angolo BEF è uguale alla somma degli angoli EAB e EBA (Prop.1-32), l'angolo BEF è quindi doppio dell'angolo EAB. Per gli stessi motivi l'angolo FEC è doppio dell'angolo EAC. Pertanto l'angolo totale BEC è doppio dell'angolo totale BAC. Sia ora inflessa di nuovo e sia un altro angolo BDC. Si congiunga DE la si prolunghi fino a G. Analogamente si dimostra che l'angolo GEC è doppio dell'angolo EDC, dei quali l'angolo GEB è doppio dell'angolo EDB. L'angolo restante BEC è quindi doppio dell'angolo BDC. |
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| In un cerchio un angolo sul centro è quindi doppio di uno sulla circonferenza, quando gli angoli abbiano come base lo stesso arco. | |
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- strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro E
- strumento Segmento: disegna le corde e i raggi AB, AC, BE e BC
- strumento Semiretta: disegna la semiretta AE che interseca la circonferenza in F
- strumento Punto: segna il punto D sulla circonferenza
- strumento Semiretta: disegna la semiretta DE che interseca la circonferenza in G
- strumento Segmento: disegna le nuove corde AB, DC
Questa proposizione è usata nella Prop.3.27.