Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO III

 

PROPOSIZIONE 20

 

Prop.20: In un cerchio un angolo sul centro è doppio di uno sulla circonferenza, quando gli angoli abbiano come base lo stesso arco
Dimostrazione
 

Sia dato il cerchio ABC e siano dati un angolo al suo centro BEC e sulla circonferenza BAC e abbiano come base lo stesso arco BC: dico che l'angolo BEC è doppio di BAC.

Si congiunga AE e la si conduca oltre fino a F.

Poiché EA è uguale a EB, anche l'angolo EAB è uguale all'angolo EBA (Prop.1-5). Pertanto la somma degli angoli EAB e EBA è doppia dell'angolo EAB. Ma l'angolo BEF è uguale alla somma degli angoli EAB e EBA (Prop.1-32), l'angolo BEF è quindi doppio dell'angolo EAB.

Per gli stessi motivi l'angolo FEC è doppio dell'angolo EAC. Pertanto l'angolo totale BEC è doppio dell'angolo totale BAC.

Sia ora inflessa di nuovo e sia un altro angolo BDC. Si congiunga DE la si prolunghi fino a G. Analogamente si dimostra che l'angolo GEC è doppio dell'angolo EDC, dei quali l'angolo GEB è doppio dell'angolo EDB. L'angolo restante BEC è quindi doppio dell'angolo BDC.

  In un cerchio un angolo sul centro è quindi doppio di uno sulla circonferenza, quando gli angoli abbiano come base lo stesso arco.

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La costruzione con GeoGebra:
  1. strumento Circonferenza: disegna la circonferenza ABC di centro E
  2. strumento Segmento: disegna le corde e i raggi AB, AC, BE e BC
  3. strumento Semiretta: disegna la semiretta AE che interseca la circonferenza in F
  4. strumento Punto: segna il punto D sulla circonferenza
  5. strumento Semiretta: disegna la semiretta DE che interseca la circonferenza in G
  6. strumento Segmento: disegna le nuove corde AB, DC

 

Questa proposizione è usata nella Prop.3.27.