LIBRO XI
PROPOSIZIONE 9
| Prop.9: | Le parallele alla stessa retta e che non sono nel suo stesso piano sono anche parallele tra loro |
| Dimostrazione | |
Siano ognuna delle rette AB, CD parallele a EF, ma non nel suo stesso piano: dico che AB è parallela a CD. Sia preso un punto G come càpita su EF, e da essa si conduca GH nel piano per EF e AB ad angoli retti con EF, e GK nel piano per EF e CD ancora ad angoli retti con (Prop.1-11). Now, since EF is at right angles to each of the straight lines GH and GK, therefore EF is also at right angles to the plane through GH and GK. E poiché EF è ad angoli retti con ognuna delle rette GH e GK, allora anche EF è ad angoli retti con il piano per GH e GK (Prop.11-4). Ma EF è parallela ad AB, anche AB è quindi ad angoli retti con il piano per HG e GK (Prop.11-8). Per gli stessi motivi anche CD è ad angoli retti con il piano per HG e GK. Pertanto ognuna delle rette AB e CD è ad angoli retti con il piano per HG e GK. Ma se due rette sono ad angoli retti con lo stesso piano, allora le rette sono parallele (Prop.11-6). AB è quindi parallela a CD. |
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| Se due rette sono quindi parallele, e una di esse è ad angoli retti con un certo piano, allora anche la restante è ad angoli retti con lo stesso piano. | |
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- strumento Retta: disegna una retta
- strumento Parallela: completa il piano di riferimento
- strumento Parallela: disegna il segmento AB nel piano parallelo al lato orizzontale
- strumento Punto: segna il punto E nel piano
- strumento Parallela: disegna il segmento CD parallelo a AB e il segmento EF sulla parallela ad AB per E
- strumento Punto: segna il punto G sul segmento EF
- strumento Parallela: disegna la parallela GH all'altro lato del piano
- strumento Punto: segna il punto K sul segmento CD
- strumento Segmento: disegna il segmento GK
Questa proposizione è l'analoga della Prop.1-30, che dimostra la proprietà transitiva della relazione di parallelismo tra rette.