Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 9

Prop.9: Le parallele alla stessa retta e che non sono nel suo stesso piano sono anche parallele tra loro
Dimostrazione
 

Siano ognuna delle rette AB, CD parallele a EF, ma non nel suo stesso piano: dico che AB è parallela a CD.

Sia preso un punto G come càpita su EF, e da essa si conduca GH nel piano per EF e AB ad angoli retti con EF, e GK nel piano per EF e CD ancora ad angoli retti con (Prop.1-11). Now, since EF is at right angles to each of the straight lines GH and GK, therefore EF is also at right angles to the plane through GH and GK.

E poiché EF è ad angoli retti con ognuna delle rette GH e GK, allora anche EF è ad angoli retti con il piano per GH e GK (Prop.11-4). Ma EF è parallela ad AB, anche AB è quindi ad angoli retti con il piano per HG e GK (Prop.11-8).

Per gli stessi motivi anche CD è ad angoli retti con il piano per HG e GK. Pertanto ognuna delle rette AB e CD è ad angoli retti con il piano per HG e GK.

Ma se due rette sono ad angoli retti con lo stesso piano, allora le rette sono parallele (Prop.11-6). AB è quindi parallela a CD.

  Se due rette sono quindi parallele, e una di esse è ad angoli retti con un certo piano, allora anche la restante è ad angoli retti con lo stesso piano.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna una retta
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Parallela: disegna il segmento AB nel piano parallelo al lato orizzontale
  4. strumento Punto: segna il punto E nel piano
  5. strumento Parallela: disegna il segmento CD parallelo a AB e il segmento EF sulla parallela ad AB per E
  6. strumento Punto: segna il punto G sul segmento EF
  7. strumento Parallela: disegna la parallela GH all'altro lato del piano
  8. strumento Punto: segna il punto K sul segmento CD
  9. strumento Segmento: disegna il segmento GK

 

Questa proposizione è l'analoga della Prop.1-30, che dimostra la proprietà transitiva della relazione di parallelismo tra rette.