Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 7

Prop.7: Se due rette sono parallele e sono presi su una e l'altra di esse punti come càpita, allora la retta che congiunge i punti è nello stesso piano delle parallele
Dimostrazione
 

Siano AB, CD due rette parallele e siano presi su una e l'altra di esse come càpita i punti E, F: dico che la retta che congiunge i punti E, F è nello stesso piano delle parallele.

Si supponga di no, ma, se possibile, sia in un piano più in alto come EGF. Si conduca oltre un piano per EGF. La sua intersezione con il piano di riferimento è una retta. Sia EF (Prop.11-3).

Pertanto le due rette EGF e EF comprendono un'area, il che è impossibile. La retta che congiunge E con non è quindi in un piano più in alto. La retta che congiunge E con F sta quindi nel piano delle parallele AB e CD.

  Se due rette sono parallele e sono presi su una e l'altra di esse punti come càpita, allora la retta che congiunge i punti è nello stesso piano delle parallele.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Segmento: disegna il segmento AB
  2. strumento Parallela: disegna il segmento CD
  3. strumento Punto: segna i punti E su AB e F su CD
  4. strumento Segmento: disegna il segmento EF
  5. strumento Punto Medio: disegna il punto medio di EF
  6. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare al segmento EF nel punto medio
  7. strumento Punto: segna un punto sull'asse di EF
  8. strumento Arco per centro e due punti: traccia l'arco AF