Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 3

Prop.3: Se due piani si secano tra loro, allora la loro intersezione è una retta
Dimostrazione
 

Due piani AB, BC si sechino tra loro e sia la linea DB la loro intersezione comune: dico che la linea AB è una retta.

Se infatti no, si congiunga la retta DEB da D fino a B nel piano AB, e la retta DFB nel piano BC. Le due rette DEB e DFB avranno quindi gli stessi estremi e comprenderanno chiaramente un'area, il che è assurdo. DEB e DFB non sono quindi rette.

Analogamente si dimostra che non ci sarà nemmeno una certa altra retta congiunta da D fino a B tranne DB, l'intersezione dei piani AB e BC.

  Se due piani si secano tra loro, allora la loro intersezione è una retta.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna una retta
  2. strumento Perpendicolare: disegna una perpendicolare alla retta data
  3. strumento Parallela: completa il piano rettangolare di vertice A
  4. strumento Punto: segna il punto D sul lato di vertice A
  5. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare da D alla retta DA che interseca il piano in B
  6. strumento Segmento: disegna il segmento BD
  7. strumento Retta: disegna per D una retta CD e per B la parallela a CD
  8. strumento Parallela: completa il piano CDB
  9. strumento Punto: segna un punto tale da formare una circonferenza con D e B
  10. strumento Centro: trova il centro della circonferenza
  11. strumento Arco: disegna l'arco BED
  12. strumento Simmetria Assiale: costruisci il simmetrico del centro del cerchio trovato rispetto a BD
  13. strumento Arco: disegna l'arco BFD

 

Questa proposizione viene anche enunciata dicendo che, se due piani hanno in comune un punto, allora hanno in comune la retta che passa per quel punto. Nella dimostrazione è sotteso un postulato che dovrebbe stabilire che due rette non possono comprendere un'area, cioè che per due punti passa una e una sola retta.