Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 28

Prop.28: Se un parallelepipedo solido è secato da un piano secondo le diagonali dei piani opposti, allora il solido è secato a metà dal piano
Dimostrazione
 

Un solido parallelepipedo AB sia secato con un piano CDEF secondo le diagonali dei lati opposti CF, DE: dico che il solido AB sarà secato a metà dal piano CDEF.

Poiché il triangolo CGF è uguale al triangolo CFB, e ADE è uguale a DEH (Prop.1-34), ed è anche il parallelogrammo CA uguale al parallelogrammo EB, è infatti opposto, e GE è uguale a CH, pertanto il prisma compreso dai due triangoli CGF e ADE e da tre parallelogrammi GE, AC, CE è uguale al prisma compreso dai due triangoli CFB, DEH e dai tre parallelogrammi CH, BE, CE, sono infatti compresi da piani uguali sia in molteplicità sia in grandezza (Def.11-10).

  Il solido totale AB è quindi secato a metà dal piano CDEF.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Traslazione: disegna il secondo piano CDEF
  2. strumento Segmento: disegna i segmenti che completano il solido
  3. strumento Segmento: disegna il segmento AB
  4. strumento Angolo di data misura: disegna l'angolo BAH = ECF, l'angolo BAK = ECG, KAH = GCF
  5. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti AK = BAxCG/EC; AH = KAxCF/GC
  6. strumento Parallela: completa il solido AL

 

QQuesta è la seconda proposizione riguardante i volumi dei solidi. Essa è paragonabile alla divisione di un parallelogrammo in due parti uguali mediante una sua diagonale.