Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 27

Prop.27: Descrivere sulla retta data un parallelepipedo solido simile e similmente posto a un parallelepipedo dato
Dimostrazione
 

Siano dati la retta AB e il solido parallelepipedo CD: si deve pertanto descrivere sulla retta data AB un solido parallelepipedo simile e similmente posto al solido parallelepipedo CD.

Si costruisca l'angolo solido compreso dagli angoli BAH, HAK, KAB sul punto A e sulla retta AB uguale all'angolo solido C così che l'angolo BAH sia uguale all'angolo ECF, l'angolo BAK uguale all'angolo ECG, e l'angolo KAH uguale all'angolo GCF (Prop.11-26), così che EC sta a CG come BA sta a AK, e GC sta a CF come KA sta a AH. Sul punto A sulla retta AB si costruisca l'angolo BAL uguale all'angolo EDC, e si costruisca l'angolo BAK uguale all'angolo EDG (Prop.6-12).

E tramite uguale quindi EC sta a CF come BA sta a AH (Prop.5-22). Si completi il parallelogramma HB e il solido AL.

E poiché EC sta a CG come BA sta a AK, e i lati intorno agli angoli uguali ECG, BAK sono in proporzione, pertanto il parallelogrammo GE è simile al parallelogrammo KB. Per gli stessi motivi il parallelogrammo KH è simile al parallelogrammo GF, e anche FE è simile a HB.

I tre parallelogrammi del solido CD sono quindi simili ai tre parallelogrammi del solido AL. Ma questi tre sono sia simili sia uguali ai tre parallelogrammi opposti, e questi ultimi sono sia simili sia uguali ai tre parallelogrammi opposti (Prop.11-24), pertanto il solido totale CD è simile al solido totale AL (Def.11-9).

  Risulta quindi descritto sulla retta data AB un solido AL sia simile che similmente posto al solido parallelepipedo CD.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano ECG
  3. strumento Traslazione: disegna il secondo piano DF
  4. strumento Segmento: disegna i segmenti che completano il solido e le diagonali dei piani
  5. strumento Segmento: disegna il segmento AB
  6. strumento Angolo di data misura: disegna l'angolo BAH = ECF, l'angolo BAK = ECG, KAH = GCF
  7. strumento Circonferenza di raggio dato: disegna i segmenti AK = BAxCG/EC; AH = KAxCF/GC
  8. strumento Parallela: completa il solido AL

 

Questa proposizione è analoga alla Prop.6-18 che costruisce una figura piana simile su una retta.