Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 26

Prop.26: Costruire, sulla retta data e su un punto su di essa un angolo solido uguale all'angolo solido dato
Dimostrazione
 

Siano dati la retta AB, il punto A su di essa e l'angolo solido su D compreso dagli angoli piani EDC, EDF, FDC: si deve pertanto costruire, sulla retta data AB e sul punto A su di essa, un angolo solido uguale all'angolo solido D.

Si prenda un punto F come càpita su DF, si conduca FG da F perpendicolare al piano per ED e DC, e incontri il piano in G. Si congiunga DG (Prop.11-11). Sul punto A sulla retta AB si costruisca l'angolo BAL uguale all'angolo EDC, e si costruisca l'angolo BAK uguale all'angolo EDG (Prop.1-23).

Si prenda AK uguale a DG. Sia eretta KH dal punto K ad angoli retti con il piano BAL e si prenda KH uguale a GF; si congiunga HA (Prop.11-12): dico che l'angolo solido su A compreso dagli angoli BAL, BAH, HAL è uguale all'angolo solido su D compreso dagli angoli EDC, EDF, FDC.

Siano staccate AB e DE uguali tra loro, e si congiungano HB, KB, FE, GE. E poiché FG è ad angoli retti con il piano di riferimento, allora è ad angoli retti anche con tutte le rette che la incontrano nel piano di riferimento (Def.11-3). Ognuno degli angoli FGD e FGE è quindi retto. Per gli stessi motivi anche ognuno degli angoli HKA e HKB è retto.

E poiché i due lati KA, AB sono uguali ai due lati GD, DE rispettivamente, ed essi comprendono angoli uguali, allora la base KB è uguale alla base GE. Ma anche KH è uguale a GF, ed essi comprendono angoli retti, pertanto anche HB è uguale a FE. Di nuovo, poiché i due lati AK, KH sono uguali ai due lati DG, GF, e comprendono angoli retti, allora la base AH è uguale alla base FD (Prop.1-4).

Ma anche AB è uguale a DE, pertanto i due lati HA, AB sono uguali ai due lati DF, DE. E la base HB è uguale alla base FE, pertanto l'angolo BAH è uguale all'angolo EDF. Per gli stessi motivi anche l'angolo HAL è uguale all'angolo FDC (Prop.1-8). Anche l'angolo BAL è uguale all'angolo EDC.

  Risulta quindi costruito dal punto A sulla retta AB un angolo solido uguale all'angolo solido dato su D.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Segmento: disegna i segmenti AB, DE, DC
  4. strumento Poligono: disegna il poligono AEF, con F a caso esterno al piano
  5. strumento Segmento: disegna il segmento CF
  6. strumento Perpendicolare: disegna FG perpendicolare al piano di riferimento
  7. strumento Segmento: disegna i segmenti CG, EG
  8. strumento Angolo di data misura: disegna l'angolo BAL = EDC, nel piano