Il solido parallelepipedo ABCD sia secato con un piano FG che è parallelo ai piani opposti RA, DH: dico che la base AEFV sta alla base EHCF come il solido ABFU sta al solido AGCD.

Si prolunghi AH da una parte e dall'altra e uguali ad AE siano poste quante si voglia rette AK e KL, e quante si voglia HM e MN uguali a EH. Si completino i parallelogrammi LP, KV, HW, MS e i solidi LQ, KR, DM, MT (Prop.1-31).

E poiché le rette LK, KA, AE sono uguali tra loro, allora i parallelogrammi LP, KV, AF sono uguali tra loro, e KO, KB, AG uguali tra loro, e inoltre LX, KQ, AR uguali tra loro, sono infatti opposti. Per gli stessi motivi i parallelogrammi EC, HW, MS sono uguali tra loro, HG, HI, IN uguali tra loro, e inoltre, DH, MY, NT uguali tra loro (Prop.11-24).

I tre piani dei solidi LQ, KR, AU sono quindi uguali a tre piani, quelli opposti, pertanto i tre solidi LQ, KR, AU sono uguali tra loro. Per gli stessi motivi anche i tre solidi ED, DM, MT sono uguali tra loro. Il solido LU è quindi tante volte multiplo del solido AU quante la base LF lo è della base AF. Per gli stessi motivi, il solido NU è tante volte multiplo del solido HU quante la base NF lo è della base FH.

Ma se la base LF è uguale alla base NF, allora anche il solido LU è uguale al solido NU; se la base LF eccede la base NF, allora anche il solido LU eccede il solido NU; e, se fa difetto, allora allora anche l'altro fa difetti.

Essendo pertanto quattro grandezze, le due basi AF e FH, e i due solidi AU e UH, risultano presi equimultipli della base AF e del solido AU, sia la base LF che il solido LU, e della base HF e del solido HU, sia la base NF e il solido NU, ed è stato dimostrato che, se la base LF eccede la base FN, allora anche il solido LU eccede il solido NU; se le basi sono uguali, allora i solidi sono uguali; e se la base è in difetto, allora il solido è in difetto. La base AF sta quindi alla base FH come il solido AU sta al solido UH (Def.5-5).