Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 24

Prop.24: Se un solido è compreso da piani paralleli, allora i piani opposti ad esso sono uguali e parallelogrammi
Dimostrazione
 

Il solido CDHG sia compreso da piani paralleli AC, GF, AH, DF, BF, AE: dico che i suoi piani opposti sono sia uguali che parallelogrammi.

Poiché i due piani paralleli BG e CE sono secati dal piano AC, allora le loro sezioni comuni sono parallele. AB è quindi parallelo a DC. Di nuovo, poiché i due piani paralleli BF e AE sono secati dal piano AC, allora le loro sezioni comuni sono parallele (Prop.11-16). BC è quindi parallelo a AD.

Ma AB è stato dimostrato parallelo a DC, pertanto AC è un parallelogrammo. Analogamente si dimostra che ognuno dei piani DF, FG, GB, BF, AE è un parallelogrammo. Si congiunga AH e DF. E poiché AB è parallelo a DC, e BH è parallelo a CF, allora le due rette AB e BH, che si intersecano tra loro, sono parallele alle due rette DC e CF, che si intersecano tra loro, non nello stesso piano. Esse comprendono quindi angoli uguali. L'angolo ABH è quindi uguale all'angolo DCF.

Se no, AB sia o uguale a LO, oppure minore. Sia in primo luogo uguale. Allora, poiché AB è uguale a LO, ma AB è uguale a BC, e LO uguale a OM, allora i due lati AB e BC sono uguali ai due lati LO e OM rispettivamente. Ed è stato supposto che la base AC è uguale alla base LM, pertanto l'angolo ABC è uguale all'angolo LOM (Prop.11-10).

E poiché i due lati AB e BH sono uguali ai due lati DC e CF (Prop.1-34), e l'angolo ABH è uguale all'angolo DCF, allora la base AH è uguale alla base DF, e il triangolo ABH è uguale al triangolo DCF (Prop.1-4). E il parallelogrammo BG è doppio del triangolo ABH, e il parallelogrammo CE è doppio del triangolo DCF, pertanto il parallelogrammo BG è uguale al parallelogrammo CE (Prop.1-34).

Analogamente si può dimostrare che AC è uguale a GF, e che AE è uguale a BF.

  Se quindi un solido è compreso da piani paralleli, allora i piani opposti ad esso sono uguali e parallelogrammi.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano ABHG
  3. strumento Traslazione: disegna il secondo piano CDEF
  4. strumento Segmento: disegna i segmenti che completano il solido e le diagonali dei piani

 

Questa proposizione avvia lo studio dei solidi, indicati con il nome di prismi, che possono rappresentare, nella geometria solida, il corrispettivo dei poligono in quella piana.