Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 21

Prop.21: Ogni angolo solido è compreso da angoli piani la cui somma è minore di quattro retti
Dimostrazione
 

Sia un angolo solido, quello su A, compreso da tre angoli piani BAC, CAD, DAB: dico che la somma degli angoliBAC, CAD, DAB è minore di quattro retti.

Si prendano rispettivamente i punti B, C, D come càpita sulle rette AB, AC, AD, e si congiungano BC, CD, DB.

E poiché l'angolo solido in B è compreso da tre angoli piani CBA, ABD, CBD, e la somma di due qualsiasi è maggiore del restante (Prop.1-20), allora la somma degli angoli CBA e ABD è maggiore dell'angolo CBD.

Per gli stessi motivi la somma degli angoli BCA e ACD è maggiore dell'angolo BCD, e la somma degli angoli CDA e ADB è maggiore dell'angolo CDB. La somma dei sei angoli CBA, ABD, BCA, ACD, CDA, ADB è quindi maggiore della somma degli angoli CBD, BCD, CDB.

Ma la somma dei tre angoli CBD, BDC, BCD è uguale a due retti (Prop.1-32), pertanto la somma dei sei angoli CBA, ABD, BCA, ACD, CDA, ADB è maggiore a due retti.

E poiché i tre angoli di ciascuno dei triangoli ABC, ACD, ADB è uguale a due retti, allora la somma dei nove angoli dei tre tiangoli, gli angoli CBA, ACB, BAC, ACD, CDA, CAD, ADB, DBA, BAD è uguale a sei retti, dei quali la somma dei sei angoli ABC, BCA, ACD, CDA, ADB, DBA è maggiore di due retti. La somma dei tre angoli restanti BAC, CAD, DAB comprendenti l'angolo solido è quindi minore di quattro retti.

  Ogni angolo solido è quindi compreso da angoli piani la cui somma è minore di quattro retti.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Poligono: disegna i triangoli ABC, ABD, ACD

 

Questa è la condizione sufficiente per la costruzione di un angolo solido formato da tre angoli piani.