Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 20

Prop.20: Se un angolo solido è compreso da tre angoli piani, allora la somma di due qualsivoglia è maggiore del restante
Dimostrazione
 

Sia un angolo solido, quello su A, compreso da tre angoli piani BAC, CAD, DAB: dico che la somma di due qualsiasi degli angoli BAC, CAD, DAB è maggiore del restante.

Se gli angoli BAC, CAD, DAB sono uguali tra loro, allora è chiaro che la somma di due qualsiasi è maggiore del restante. Se invece no, sia BAC il maggiore. Nel piano per BA e AC, si costruisca l'angolo BAE uguale all'angolo DAB nel punto A sulla retta AB. Si prenda AE uguale a AD, si conduca BEC oltre per il punto E che sechi le rette AB e AC nei punti B e C, e si congiunga DB e DC.

E poiché DA è uguale ad AE, e AB è in comune, allora due lati sono uguali a due lati. E l'angolo DAB è uguale all'angolo BAE, pertanto la base DB è uguale alla base BE (Prop.1-4). E poiché la somma dei due lati BD e DC è maggiore di BC, e tra questi DB è stato dimostrato uguale a BE, allora il restante DC è maggiore del restante EC (Prop.1-20).

E poiché DA è uguale ad AE, e AC è in comune, e la base DC è maggiore della base EC, allora l'angolo DAC è maggiore dell'angolo EAC (Prop.1-25). Ma l'angolo BAE è uguale all'angolo DAB, pertanto la somma degli angoli DAB e DAC è maggiore dell'angolo BAC.

Analogamente si dimostra che la somma di due qualsiasi degli angoli restante è maggiore di quello restante.

  Se quindi due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Poligono: disegna i triangoli ABC, ABD, ACD
  2. strumento Segmento: disegna il segmento DE

 

Questa è la condizione necessaria per la costruzione di un angolo solido formato da tre angoli piani. La condizione sufficiente è introdotta nella proposizione successiva.