Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 19

Prop.19: Se due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano
Dimostrazione
 

Siano due piani AB, BC siano ad angoli retti con il piano di riferimento, e sia BD la loro sezione comune: dico che BD è ad angoli retti con il piano di riferimento.

Supponiamo che non sia vero. Dal punto D si conduca DE ad angoli retti con la retta AD nel piano AB, e si conduca DF ad angoli retti con CD nel piano BC (Prop.1-11).

E poiché il piano AB è ad angoli retti con il piano di riferimento, e DE è ad angoli retti con AD nel piano AB, la loro intersezione, allora DE è ad angoli retti con il piano di riferimento (Def.11-4). Analogamente si dimostra che anche DF è ad angoli retti con il piano di riferimento.

Pertanto dallo stesso punto D sono state poste ad angoli retti con il piano di riferimento due rette dalla stessa parte, il che è impossibile (Prop.11-13). Nessuna retta quindi tranne l'intersezione DB dei piani AB e BC può essere posta dal punto D ad angoli retti con il piano di riferimento.

  Se quindi due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Punto: segna due punti A e C sul lato inferiore del piano di riferimento
  4. strumento Retta: disegna due rette nel piano una per A e l'altra per C, si intersecano in D
  5. strumento Perpendicolare: disegna il segmento BD perpendicolare al piano
  6. strumento Parallela: completa i piani AB e BC, la cui intersezione è BD
  7. strumento Segmento: disegna i segmenti DE e DF