LIBRO XI
PROPOSIZIONE 19
| Prop.19: | Se due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano |
| Dimostrazione | |
Siano due piani AB, BC siano ad angoli retti con il piano di riferimento, e sia BD la loro sezione comune: dico che BD è ad angoli retti con il piano di riferimento. Supponiamo che non sia vero. Dal punto D si conduca DE ad angoli retti con la retta AD nel piano AB, e si conduca DF ad angoli retti con CD nel piano BC (Prop.1-11). E poiché il piano AB è ad angoli retti con il piano di riferimento, e DE è ad angoli retti con AD nel piano AB, la loro intersezione, allora DE è ad angoli retti con il piano di riferimento (Def.11-4). Analogamente si dimostra che anche DF è ad angoli retti con il piano di riferimento. Pertanto dallo stesso punto D sono state poste ad angoli retti con il piano di riferimento due rette dalla stessa parte, il che è impossibile (Prop.11-13). Nessuna retta quindi tranne l'intersezione DB dei piani AB e BC può essere posta dal punto D ad angoli retti con il piano di riferimento. |
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| Se quindi due piani che si secano tra loro sono ad angoli retti con un certo piano, allora anche la loro intersezione è ad angoli retti con lo stesso piano. | |
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- strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- strumento Parallela: completa il piano di riferimento
- strumento Punto: segna due punti A e C sul lato inferiore del piano di riferimento
- strumento Retta: disegna due rette nel piano una per A e l'altra per C, si intersecano in D
- strumento Perpendicolare: disegna il segmento BD perpendicolare al piano
- strumento Parallela: completa i piani AB e BC, la cui intersezione è BD
- strumento Segmento: disegna i segmenti DE e DF