Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 17

Prop.17: Se due rette sono secate da piani paralleli, allora sono secate negli stessi rapporti
Dimostrazione
 

Due rette AB, CD siano secate da piani paralleli GH, KL, MN nei punti A, E, B, C, F, D: dico che la retta AE sta a EB come CF sta a FD.

Si congiunga AC, BD, AD. E AD incontri il piano KL nel punto O. Si congiunga EO e FO.

E poiché i due piani paralleli KL e MN sono secati dal piano EBDO, allora le loro intersezioni EO e BD sono parallele (Prop.11-16). Per gli stessi motivi, poiché i due piani paralleli GH e KL sono secati dal piano AOFC, le loro intersezioni AC e OF sono parallele.

E poiché la retta EO è condotta parallela a uno solo dei lati del triangolo ABD, BC, allora in proporzione AE sta a EB come AO sta a OD. Di nuovo, poiché la retta FO è parallela a CA, uno dei lati del triangolo ADC, allora in proporzione AO sta a OD come CF sta a FD (Prop.6-2).

Ma è stato dimostrato che AO sta a OD come AE sta a EB, pertanto AE sta a EB come CF sta a FD.

  Se quindi due rette sono secate da piani paralleli, allora sono secate negli stessi rapporti.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Traslazione: disegna il secondo e il terzo piano con un vettore in verso opposto
  4. strumento Segmento: disegna il segmento AC nel piano GH e BD nel piano MN
  5. strumento Segmento: disegna i segmenti AB e CD, che intersecano in E e F il piano KL
  6. strumento Segmento: disegna il segmento AD
  7. strumento Parallela: disegna il segmento OE parallelo a AB e il segmento EF parallelo a AC