LIBRO XI
PROPOSIZIONE 17
| Prop.17: | Se due rette sono secate da piani paralleli, allora sono secate negli stessi rapporti |
| Dimostrazione | |
Due rette AB, CD siano secate da piani paralleli GH, KL, MN nei punti A, E, B, C, F, D: dico che la retta AE sta a EB come CF sta a FD. Si congiunga AC, BD, AD. E AD incontri il piano KL nel punto O. Si congiunga EO e FO. E poiché i due piani paralleli KL e MN sono secati dal piano EBDO, allora le loro intersezioni EO e BD sono parallele (Prop.11-16). Per gli stessi motivi, poiché i due piani paralleli GH e KL sono secati dal piano AOFC, le loro intersezioni AC e OF sono parallele. E poiché la retta EO è condotta parallela a uno solo dei lati del triangolo ABD, BC, allora in proporzione AE sta a EB come AO sta a OD. Di nuovo, poiché la retta FO è parallela a CA, uno dei lati del triangolo ADC, allora in proporzione AO sta a OD come CF sta a FD (Prop.6-2). Ma è stato dimostrato che AO sta a OD come AE sta a EB, pertanto AE sta a EB come CF sta a FD. |
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| Se quindi due rette sono secate da piani paralleli, allora sono secate negli stessi rapporti. | |
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- strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- strumento Parallela: completa il piano di riferimento
- strumento Traslazione: disegna il secondo e il terzo piano con un vettore in verso opposto
- strumento Segmento: disegna il segmento AC nel piano GH e BD nel piano MN
- strumento Segmento: disegna i segmenti AB e CD, che intersecano in E e F il piano KL
- strumento Segmento: disegna il segmento AD
- strumento Parallela: disegna il segmento OE parallelo a AB e il segmento EF parallelo a AC