Due piani paralleli AB, CD siano secati da un piano EFGH, e loro intersezioni comuni siano EF, GH: dico che EF è parallelo a GH.

Se infatti no, allora EF e GH, se prolungati, si incontreranno o dalla parte di F e H o da quella di E e G.
Si incontrino in primo luogo, se prolungati, nella direzione di F e G in K.

E poiché EFK si trova nel piano AB, allora anche tutti i punti su EFK si trovano nel piano AB. Ma K è uno dei punti sulla retta EFK (Prop.11-1), pertanto K si trova nel piano AB. Per gli stessi motivi anche K si trova nel piano CD. Pertanto, i piani AB e CD, se prolungati, si incontreranno.

Ma essi non si incontrano, poiché è stato supposto che sono paralleli. Le rette EF e GH non si incontreranno quindi, se prolungate, dalla parte di F e H. Analogamente si dimostra che le rette EF, GH non si incontrano, nemmeno se prolungate, dalla parte di E e G.

Ma rette che non si incontrano né da una parte né dall'altra sono parallele.