Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 16

Prop.16: Se due piani paralleli sono secati da un certo piano, allora le loro intersezioni sono parallele
Dimostrazione
 

Due piani paralleli AB, CD siano secati da un piano EFGH, e loro intersezioni comuni siano EF, GH: dico che EF è parallelo a GH.

Se infatti no, allora EF e GH, se prolungati, si incontreranno o dalla parte di F e H o da quella di E e G.
Si incontrino in primo luogo, se prolungati, nella direzione di F e G in K.

E poiché EFK si trova nel piano AB, allora anche tutti i punti su EFK si trovano nel piano AB. Ma K è uno dei punti sulla retta EFK (Prop.11-1), pertanto K si trova nel piano AB. Per gli stessi motivi anche K si trova nel piano CD. Pertanto, i piani AB e CD, se prolungati, si incontreranno.

Ma essi non si incontrano, poiché è stato supposto che sono paralleli. Le rette EF e GH non si incontreranno quindi, se prolungate, dalla parte di F e H. Analogamente si dimostra che le rette EF, GH non si incontrano, nemmeno se prolungate, dalla parte di E e G.

Ma rette che non si incontrano né da una parte né dall'altra sono parallele.

  Se quindi due piani paralleli sono secati da un certo piano, allora le loro intersezioni sono parallele.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Traslazione: disegna il secondo piano
  4. strumento Punto: segna i punti E e G rispettivamente nel piano superiore e inferiore
  5. strumento Parallela: disegna la parallela EF ad un lato del piano superiore
  6. strumento Segmento: disegna il segmento EG
  7. strumento Parallela: disegna il segmento GH parallelo a EF
  8. strumento Punto: segna il punto K esterno ai due piani
  9. strumento Segmento: disegna i segmenti FK e HK