Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 14

Prop.14: Piani ai quali una stessa retta è ortogonale, sono paralleli
Dimostrazione
 

Una certa retta AB sia ad angoli retti con uno entrambi i piani CD, EF: dico che i piani sono paralleli.

Se infatti no, allora, se prolungati, si incontrano. E la loro intersezione è una retta (Prop.11-3). Sia GH. Si prenda un punto K come càpita su GH, e si congiunga AK e BK.

E poiché AB è ad angoli retti con il piano EF, allora anche AB è ad angoli retti con BK che è una retta nel piano prolungato EF. Pertanto l'angolo ABK è retto. Per gli stessi motivi anche l'angolo BAK è retto (Def.11-3). Nel triangolo ABK quindi la somma dei due angoli ABK e BAK è uguale a due retti, il che è impossibile (Prop.1-17). I piani CD e EF do non si incontrano quindi se prolungati. I piani CD e EF sono pertanto paralleli (Def.11-8).

  Pertanto piani ai quali una stessa retta è ortogonale, sono paralleli.

.

La
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Traslazione: disegna il secondo piano
  4. strumento Segmento: disegna il segmento GH esterno ai due piani
  5. strumento Punto: segna il punto A nel piano CD e K sul GH
  6. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare AB ai due piani
  7. strumento Segmento: disegna i segmenti AK e BK

 

Dopo la trattazione del parallelismo tra rette e della perpendicolarità tra rette e piani, questa Proposizione inizia la trattazione del parallelismo tra piani.