LIBRO XI
PROPOSIZIONE 14
| Prop.14: | Piani ai quali una stessa retta è ortogonale, sono paralleli |
| Dimostrazione | |
Una certa retta AB sia ad angoli retti con uno entrambi i piani CD, EF: dico che i piani sono paralleli. Se infatti no, allora, se prolungati, si incontrano. E la loro intersezione è una retta (Prop.11-3). Sia GH. Si prenda un punto K come càpita su GH, e si congiunga AK e BK. E poiché AB è ad angoli retti con il piano EF, allora anche AB è ad angoli retti con BK che è una retta nel piano prolungato EF. Pertanto l'angolo ABK è retto. Per gli stessi motivi anche l'angolo BAK è retto (Def.11-3). Nel triangolo ABK quindi la somma dei due angoli ABK e BAK è uguale a due retti, il che è impossibile (Prop.1-17). I piani CD e EF do non si incontrano quindi se prolungati. I piani CD e EF sono pertanto paralleli (Def.11-8). |
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| Pertanto piani ai quali una stessa retta è ortogonale, sono paralleli. | |
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- strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
- strumento Parallela: completa il piano di riferimento
- strumento Traslazione: disegna il secondo piano
- strumento Segmento: disegna il segmento GH esterno ai due piani
- strumento Punto: segna il punto A nel piano CD e K sul GH
- strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare AB ai due piani
- strumento Segmento: disegna i segmenti AK e BK
Dopo la trattazione del parallelismo tra rette e della perpendicolarità tra rette e piani, questa Proposizione inizia la trattazione del parallelismo tra piani.