Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 13

Prop.13: Dallo stesso punto non si innalzano dalla stessa parte due rette ad angoli retti con lo stesso piano
Dimostrazione
 

Se infatti possibile, dallo stesso punto A si innalzino dalla stessa parte due rette AB, BC ad angoli retti con il piano di riferimento e si conduca oltre il piano per BA, AC. Eso interseca il piano di riferimento in una retta per A (Prop.11-3). Faccia la linea DAE.

Le rette AB, AC, DAE sono quindi in un solo piano. E poiché CA è ad angoli retti con il piano di riferimento, forma quindi angoli retti anche con tutte le rette che la toccano e sono nel piano di riferimento (Def.11-3). Ma DAE la tocca e si trova nel piano di riferimento, pertanto l'angolo CAE è retto. Per gli stessi motivi anche l'angolo BAE è retto.

L'angolo CAE è quindi uguale all'angolo BAE. Ed esse sono in un solo piano, il che è impossibile.

  Non si dà quindi il caso che dalla innalzata dallo stesso punto si innalzino dalla stessa parte due rette ad angoli retti con lo stesso piano.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Retta: disegna la retta DE nel piano passante per A
  4. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare AB al piano
  5. strumento Segmento: disegna il segmento AC con il punto C esterno al piano

 

Questa proposizione è frequentemete usata nei restanti Libri per la costruzione di una perpendicolare ad un piano.