Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 12

Prop.12: Innalzare dal punto dato su di esso una linea retta ad angoli retti con il piano dato
Dimostrazione
 

Sia il piano di riferimento il piano dato e A il punto su di esso: si deve pertanto innalzare dal punto A una linea retta ad angoli retti con il piano di riferimento.

Da un certo punto alto B si conduca BC perpendicolare al piano di riferimento (Prop.11-11), e si conduca AD parallela a BC per il punto A (Prop.1-31).

Poiché dunque AD e BC sono due rette parallele, e una di esse, BC, è ad angoli retti con il piano di riferimento, allora anche quella restante, AD, è ad angoli retti con il piano di riferimento (Prop.11-8).

  Risulta quindi innalzata dal punto dato su di essa A una linea retta AD ad angoli retti con il piano soggiacente.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Punto: segna il punto A nel piano
  4. strumento Perpendicolare: disegna la perpendicolare per AD al piano
  5. strumento Parallela: disegna la parallela BC alla retta AD

 

Questa proposizione è frequentemete usata nei restanti Libri per la costruzione di una perpendicolare ad un piano.