Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO XI

 

PROPOSIZIONE 10

Prop.10: Se due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora esse comprendono angoli uguali
Dimostrazione
 

Siano AB, BC due rette che si toccano tra loro parallele a due rette DE, EF che si toccano tra loro non nello stesso piano: dico che l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF.

Si stacchino BA, BC, ED, EF uguali tra loro, e si congiungano AD, CF, BE, AC, DF (Prop.1-3). E poiché BA è uguale a parallelo a ED, allora anche AD è uguale e parallelo a BE. Per lo stesso motivo anche CF è uguale e parallelo a BE (Prop.1-33).

Ognuna delle rette AD e CF è quindi uguale e parallela a BE. Ma rette che sono parallele alla stessa retta e non sono nel suo stesso piano sono parallele tra loro; AD è quindi parallela e uguale a CF (Prop.11-9). E le congiungono AC e DF, pertanto anche AC è uguale e parallelo a DF (Prop.1-33).

E poiché due rette AB e BC sono uguali a due rette DE e EF, e la base AC è uguale alla base DF, allora l'angolo ABC è uguale all'angolo DEF (Prop.1-8).

  Se quindi due rette che si toccano tra loro sono parallele a due rette che si toccano tra loro non nello stesso piano, allora esse comprendono angoli uguali.

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La costruzione con Geogebra:
  1. strumento Retta: disegna due rette aventi un punto in comune
  2. strumento Parallela: completa il piano di riferimento
  3. strumento Traslazione: disegna il secondo piano
  4. strumento Poligono: disegna il triangolo ABC
  5. strumento Punto: segna il punto D nel secondo piano
  6. strumento Segmento: disegna il segmento AD
  7. strumento Parallela: disegna le parallele per D ai lati AB e AC del triangolo e al segmento AD
  8. strumento Poligono: disegna il triangolo DEF
  9. strumento Segmento: disegna i segmenti BE, CF

 

Questa proposizione utilizza nella dimostrazione il teorema del Libro I per il quale un quadrilatero avente due lati uguali e paralleli è un parallelogrammo, e tale teorema utilizza, a sua volta, il postulato delle parallele.