LIBRO I
PROPOSIZIONE 3
| Prop1-3: | Di due rette disuguali date, sottrarre dalla maggiore una retta uguale alla minore |
| Dimostrazione | |
Siano date le due rette disuguali AB e C, maggiore delle quali sia AB: si deve pertanto sottrarre dalla maggiore AB una retta uguale alla minore C. Si ponga una retta AD sul punto A uguale alla retta C (Prop.1-2), e si tracci il cerchio DEF con centro A e raggio AD (Pos.3). E poiché il punto A è il centro del cerchio DEF , AE è quindi uguale a AD (Def.1-15). Ma C è pure uguale a AD; ognuna delle rette AE e C è quindi uguale a AD, così che AE è uguale a C(NC.1). Ma BC è stato dimostrato uguale a BG, ognuna delle rette AL e BC è quindi uguale a BG. E gli uguali allo stesso sono anche uguali tra loro: anche AL è quindi uguale a BC. |
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| Di due rette disuguali date AB, C, risulta quindi sottratta dalla maggiore AB una retta AE uguale alla minore C. | |
- strumento Segmento: disegna i segmento AB e C
- la costruzione della proposizione 2, sulla quale ci si basa, è riassunta in Geogebra dal comando
- strumento Circonferenza di dato raggio: disegna cerchio di centro A e raggio uguale a C; essa interseca il segmento AB in E.
Pertanto, AE è uguale a C, e il segmento sottratto è EB.
Questa proposizione inizia la geometria aritmetica dei segmenti. Essa permette, infatti, la sottrazione tra segmenti, ma può anche essre usara per il loro confronto e per la loro somma. In altre parole, questa proposizione giustifica la legge di tricotomia dei segmenti.
Questa proposizione è frequentemente utilizzata a partire dalla Prop1-5.