Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO I

 

PROPOSIZIONE 3

 

Prop1-3: Di due rette disuguali date, sottrarre dalla maggiore una retta uguale alla minore
Dimostrazione
 

Siano date le due rette disuguali AB e C, maggiore delle quali sia AB: si deve pertanto sottrarre dalla maggiore AB una retta uguale alla minore C.

Si ponga una retta AD sul punto A uguale alla retta C (Prop.1-2), e si tracci il cerchio DEF con centro A e raggio AD (Pos.3).

E poiché il punto A è il centro del cerchio DEF , AE è quindi uguale a AD (Def.1-15). Ma C è pure uguale a AD; ognuna delle rette AE e C è quindi uguale a AD, così che AE è uguale a C(NC.1).

Ma BC è stato dimostrato uguale a BG, ognuna delle rette AL e BC è quindi uguale a BG. E gli uguali allo stesso sono anche uguali tra loro: anche AL è quindi uguale a BC.

  Di due rette disuguali date AB, C, risulta quindi sottratta dalla maggiore AB una retta AE uguale alla minore C.

 

 

 

La costruzione con GeoGebra:
  1. strumento Segmento: disegna i segmento AB e C
  2. la costruzione della proposizione 2, sulla quale ci si basa, è riassunta in Geogebra dal comando
  3. strumento Circonferenza di dato raggio: disegna cerchio di centro A e raggio uguale a C; essa interseca il segmento AB in E.

Pertanto, AE è uguale a C, e il segmento sottratto è EB.

 

Questa proposizione inizia la geometria aritmetica dei segmenti. Essa permette, infatti, la sottrazione tra segmenti, ma può anche essre usara per il loro confronto e per la loro somma. In altre parole, questa proposizione giustifica la legge di tricotomia dei segmenti.

Questa proposizione è frequentemente utilizzata a partire dalla Prop1-5.