LIBRO I
PROPOSIZIONE 29
| Prop1-29: | Una retta che incide su rette parallele forma sia gli angoli alterni uguali tra loro che quello all'esterno uguale all'interno e opposto che quelli all'interno dalla stessa parte uguali a due retti |
| Dimostrazione | |
La retta EF incida sulle rette parallele AB e CD: dico che forma gli angoli alterni AGH e GHD uguali e l'angolo esterno EGH uguale all'angolo interno e opposto GHD e quelli interni e dalla stessa parte BGH e GHD uguali a due retti. Se l'angolo AGH è disuguale all'angolo GHD, allora uno solo di essi è maggiore. Sia l'angolo AGH il maggiore. Si sommi l'angolo BGH ad ognuno. La somma degli angoli AGH e BGH è quindi maggiore della somma degli angoli BGH e GHD. Ma la somma degli angoli AGH e BGH è uguale a due retti (Prop.1-13). La somma degli angoli BGH e GHD è quindi minore di due retti. Ma rette prolungate illimitatamente da meno di due retti si incontrano; pertanto AB e CD, se prolungate illimitatamente, si incontreranno. Ma esse non si incontrano, poiché sono state supposte parallele (Post.5). Non si dà quindi il casi che l 'angolo AGH sia disuguale all'angolo GHD: l'angolo AGH è quindi uguale. L'angolo AGH è uguale all'angolo EGB. Pertanto anche l'angolo EGB è uguale all'angolo GHD (Prop.1-15). Si sommi l'angolo BGH ad ognuno. La somma degli angoli EGB e BGH è quindi uguale alla somma degli angoli BGH e GHD. Ma la somma degli angoli EGB e BGH è uguale a due retti. Anche la somma degli angoli BGH e GHD è quindi uguale a due retti. |
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| Una retta che incide su rette parallele forma quindi sia gli angoli alterni uguali tra loro che quello all'esterno uguale all'interno e opposto che quelli all'interno dalla stessa parte uguali a due retti. | |
La costruzione con GeoGebra:
- strumento Rette: disegna la retta AB
- strumento Punto: traccia il punto C non appartenente ad AB
- strumento Parallela: disegna la parallela CD alla retta AB (questo comando riassume la costruzione della retta parallela)
- strumento Retta: disegna la retta trasversale EF che interseca le parallele rispettivamente in G e H
L'enunciato di questa proposizione contiene tre parti, una inversa della Prop.1-27 e le altre due inverse della Prop.1-28. Questa, inoltre, è la prima dimostrazione che utilizza il postulato sulle parallele.
Questa proposizione è spesso utilizzata nel Libro I.