Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO I

 

PROPOSIZIONE 29

 

Prop1-29: Una retta che incide su rette parallele forma sia gli angoli alterni uguali tra loro che quello all'esterno uguale all'interno e opposto che quelli all'interno dalla stessa parte uguali a due retti
Dimostrazione
 

La retta EF incida sulle rette parallele AB e CD: dico che forma gli angoli alterni AGH e GHD uguali e l'angolo esterno EGH uguale all'angolo interno e opposto GHD e quelli interni e dalla stessa parte BGH e GHD uguali a due retti.

Se l'angolo AGH è disuguale all'angolo GHD, allora uno solo di essi è maggiore. Sia l'angolo AGH il maggiore.

Si sommi l'angolo BGH ad ognuno. La somma degli angoli AGH e BGH è quindi maggiore della somma degli angoli BGH e GHD. Ma la somma degli angoli AGH e BGH è uguale a due retti (Prop.1-13). La somma degli angoli BGH e GHD è quindi minore di due retti.

Ma rette prolungate illimitatamente da meno di due retti si incontrano; pertanto AB e CD, se prolungate illimitatamente, si incontreranno. Ma esse non si incontrano, poiché sono state supposte parallele (Post.5).

Non si dà quindi il casi che l 'angolo AGH sia disuguale all'angolo GHD: l'angolo AGH è quindi uguale. L'angolo AGH è uguale all'angolo EGB. Pertanto anche l'angolo EGB è uguale all'angolo GHD (Prop.1-15).

Si sommi l'angolo BGH ad ognuno. La somma degli angoli EGB e BGH è quindi uguale alla somma degli angoli BGH e GHD. Ma la somma degli angoli EGB e BGH è uguale a due retti. Anche la somma degli angoli BGH e GHD è quindi uguale a due retti.

  Una retta che incide su rette parallele forma quindi sia gli angoli alterni uguali tra loro che quello all'esterno uguale all'interno e opposto che quelli all'interno dalla stessa parte uguali a due retti.

 

 

 

La costruzione con GeoGebra:

  1. strumento Rette: disegna la retta AB
  2. strumento Punto: traccia il punto C non appartenente ad AB
  3. strumento Parallela: disegna la parallela CD alla retta AB (questo comando riassume la costruzione della retta parallela)
  4. strumento Retta: disegna la retta trasversale EF che interseca le parallele rispettivamente in G e H

 

L'enunciato di questa proposizione contiene tre parti, una inversa della Prop.1-27 e le altre due inverse della Prop.1-28. Questa, inoltre, è la prima dimostrazione che utilizza il postulato sulle parallele.

Questa proposizione è spesso utilizzata nel Libro I.