Gli "Elementi" di Euclide

LIBRO I

 

PROPOSIZIONE 1

 

Prop1-1: Costruire sulla retta limitata data un triangolo equilatero
Dimostrazione
 

Sia data la retta limitata AB. Si deve pertanto costruire sulla retta AB un triangolo equilatero.

Si tracci il cerchio BCD con centro in A e raggio AB. Si tracci poi il cerchio ACE con centro in B e raggio BA (Pos.3). Dal punto C, in cui si secano i cerchi, fino ai punti A e B si congiungano le rette CA e CB (Pos.1).

E poiché il punto A è il centro del cerchio CDB, AC è quindi uguale a AB. Di nuovo, poiché il punto B è il centro del cerchio CAE, BC è quindi uguale a BA (Def.1-15). Ma AC è stato dimostrato AC uguale a AB, quindi entrambe le rette AC e BC sono uguali a AB. E gli uguali allo stesso sono anche uguali tra loro, pertanto anche AC è uguale a BC (NC).

Le tre rette CA, AB, BC sono quindi uguali tra loro. Il triangolo ABC è quindi equilatero, e risulta costruito sulla retta limitata data AB (Def.1-20).

  Sulla retta limitata data risulta quindi costruito un triangolo equilatero.

 

 

 

La costruzione con GeoGebra:
  1. strumento Segmento: disegna il segmento AB
  2. strumento Cerchio: disegna i cerchi di centro A e raggio AB, e di centro B e raggio BA
  3. strumento Punto Intersezione: traccia il punto C, una delle intersezioni tra i due cerchi
  4. strumento Segmento: disegna i segmenti AC e BC

 

Nonostante la semplicità e linearità, questa dimostrazione è stata sottoposta a numerose critiche, riguardanti l'esistenza della intersezione tra i due cerchi, la mancata dimostrazione che ABC è una figura piana e la dimostrazione della esistenza di un triangolo equilatero nella parte di piano ABC.

Queste critiche nascono dal fatto che, essendo la prima dimostrazione, ci si può basare solo sulle definizioni e sui postulati e alcune affermazioni non appaiono in tal senso adeguatamente giustificate.

Questa proposizione è utilizzata nel Libo I nelle Prop1-2, 1-9, 1-10, 1-11 e lo sarà poi nel Libro 11.