LIBRO I
PROPOSIZIONE 1
| Prop1-1: | Costruire sulla retta limitata data un triangolo equilatero |
| Dimostrazione | |
Sia data la retta limitata AB. Si deve pertanto costruire sulla retta AB un triangolo equilatero. Si tracci il cerchio BCD con centro in A e raggio AB. Si tracci poi il cerchio ACE con centro in B e raggio BA (Pos.3). Dal punto C, in cui si secano i cerchi, fino ai punti A e B si congiungano le rette CA e CB (Pos.1). E poiché il punto A è il centro del cerchio CDB, AC è quindi uguale a AB. Di nuovo, poiché il punto B è il centro del cerchio CAE, BC è quindi uguale a BA (Def.1-15). Ma AC è stato dimostrato AC uguale a AB, quindi entrambe le rette AC e BC sono uguali a AB. E gli uguali allo stesso sono anche uguali tra loro, pertanto anche AC è uguale a BC (NC). Le tre rette CA, AB, BC sono quindi uguali tra loro. Il triangolo ABC è quindi equilatero, e risulta costruito sulla retta limitata data AB (Def.1-20). |
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| Sulla retta limitata data risulta quindi costruito un triangolo equilatero. | |
- strumento Segmento: disegna il segmento AB
- strumento Cerchio: disegna i cerchi di centro A e raggio AB, e di centro B e raggio BA
- strumento Punto Intersezione: traccia il punto C, una delle intersezioni tra i due cerchi
- strumento Segmento: disegna i segmenti AC e BC
Nonostante la semplicità e linearità, questa dimostrazione è stata sottoposta a numerose critiche, riguardanti l'esistenza della intersezione tra i due cerchi, la mancata dimostrazione che ABC è una figura piana e la dimostrazione della esistenza di un triangolo equilatero nella parte di piano ABC.
Queste critiche nascono dal fatto che, essendo la prima dimostrazione, ci si può basare solo sulle definizioni e sui postulati e alcune affermazioni non appaiono in tal senso adeguatamente giustificate.
Questa proposizione è utilizzata nel Libo I nelle Prop1-2, 1-9, 1-10, 1-11 e lo sarà poi nel Libro 11.